2 Vector Analysis
TIP
本章节作为基础数学工具，偏向于知识清单而并非理解工具。
如果你是微积分II高手，其实不需要看这一章。
同是天涯沦落人，相逢何必曾相识。
章节目录
- 章节目录
- 2-1 向量代数
- 2-2 正交坐标系
- 2-3 标量场的梯度 Gradient
- 2-4 矢量场的通量 Flux 与散度 Divergence
- 2-5 矢量场的环量 Circulation 与旋度 Curl
- 2-6 无旋场与无散场 Irrotational field and solenoidal field
- 2-7 拉普拉斯算子 Laplacian operation
- 2-8 亥姆霍兹定理 Helmholtz’s Theorem
2-1 向量代数
2-1-1 向量的表示
| 项目 | 说明 | 公式 |
|---|---|---|
| 向量的代数表示 | 向量可以表示为单位方向向量与其大小的乘积。 | |
| 向量的大小 | 向量的大小等于该向量的模。 | |
| 单位向量 | 单位向量等于原向量除以其大小。 | |
| 恒定向量 | 具有恒定大小和固定方向的向量。 |
直角坐标系 Cartesian Coordinates 的向量表示
- 坐标
- 坐标轴投影 Projection
- 投影合成坐标向量 / 单位向量
2-1-2 向量的代数运算
1. 加法和减法
交换律：
结合律：
2. 标量乘法
3. 点乘 Scalar Product / Dot Product
交换律：
4. 叉乘 Vector Product / Cross Product
分量形式：
行列式形式：
5. 三重运算
分配律：
分配律：
标量三重积：
向量三重积：
2-2 正交坐标系
2-2-1 直角坐标系 Cartesian Coordinates
| 项目 | 表达式 |
|---|---|
| Variable | |
| Unit vector | |
| Position | |
| Line element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Volume element |
2-2-2 圆柱坐标系 Cylindrical Coodrdinates
| 项目 | 表达式 |
|---|---|
| Variable | |
| Unit vector | |
| Position | |
| Line element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Volume element |
2-2-3 球面坐标系 Spherical Coordindates
| 项目 | 表达式 |
|---|---|
| Variable | |
| Unit vector | |
| Position | |
| Line element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Surface element | |
| Volume element |
2-2-4 运算关系
| 行基矢 / 列基矢 | |||
|---|---|---|---|
| 行基矢 / 列基矢 | |||
|---|---|---|---|
| 行基矢 / 列基矢 | |||
|---|---|---|---|
TIP
这类表格的读取方法是：
“每一行”表示左侧的基矢，如何用表头对应的那一组基矢展开。
例如在第一个表中，
也就是说，表中的每一行本质上都是一个“基矢展开式”。
TIP
如果要做“向量分量转换”，就把表里的系数直接写成变换矩阵。
例如 Cartesian
即
TIP
同理，Cylindrical
即
TIP
注意：这些 relationship 表是“基矢/向量分量变换表”，主要用于向量展开和分量坐标变换。
它们不是点坐标变量之间的直接变换公式。
例如点坐标的 Cartesian
这些公式。
2-3 标量场的梯度 Gradient
场： 一个物理量关于空间的函数。
我们通常将场分为
- 标量场
， - 矢量场
；
或:
- 恒定场
， - 时变场
。
2-3-1 等值面 Level Suface
定义
- 当常数
取一系列不同值时，会得到一族不同的等值面，称为等值面族 Level Surface Family； - 这些等值面充满整个标量场所在空间；
- 这些等值面彼此不能相交。
NOTE
在二维情况下，对应的是等值线（level curve / contour line）。
2-3-2 方向导数 Directional Derivative
定义
设点
其中：
是方向 对 轴的方向余弦； 是所取方向上的单位向量。
方向导数描述标量场沿某一指定方向的空间变化率。
符号意义：
若
则
沿该方向增大； 若
则
沿该方向减小； 若
则
沿该方向不变。
特点：
- 方向导数既与点
的位置有关，也与所选方向有关。
2-3-3 梯度
定义
梯度记作
其定义可写为
其中
性质
- 梯度是一个向量；
- 梯度描述标量场在某点处的最大空间变化率及其方向；
- 梯度方向与该点处的等值面正交；
- 某方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
更准确地说，
其中
因此，
并且最大值出现于
时。
表达式
| 坐标系 | 梯度表达式 |
|---|---|
| 笛卡尔坐标（Cartesian） | |
| 柱坐标（Cylindrical） | |
| 球坐标（Spherical） |
NOTE
方向导数可以通过梯度与方向单位向量的点积来计算。 设标量场为
在点
其中：
表示点 处的梯度； 表示所给方向上的单位向量。
基本公式
其中
TIP
其实当作求导来记就行了，本来也就是求偏导嘛。
梯度与最大方向导数的关系
设标量场写作
因此任意方向上的方向导数满足
所以其最大值为
特别地，
当且仅当所取方向与梯度方向一致时取等号。
TIP
为避免与柱坐标/球坐标中的角变量
2-4 矢量场的通量 Flux 与散度 Divergence
2-4-1 矢量线 Vector Line
定义
用来在视觉上描述矢量场的分布
方程：
2-4-2 通量 Flux
定义
用于衡量面积上矢量场的大小。
设向量场为
其中：
表示面元向量；
表示该面元的法向单位向量；
表示穿过面元
如果曲面
2-4-3 散度 Divergence
定义： 当包围某点的体积趋于零时，单位体积上的净向外通量的极限，称为该点处向量场的散度。
因此，向量场
根据散度的定义，在笛卡尔坐标系中，若
则有
并且可写成算子形式
IMPORTANT
2-4-4 散度定理 Divergence Theorem
TIP
这个公式就是高斯散度定理。
它表示：一个封闭曲面
直观上看，散度描述的是向量场在每个点“向外发散”的强弱，而把整个体积内这些“发散量”全部加起来，就得到穿出边界曲面的总通量。
2-5 矢量场的环量 Circulation 与旋度 Curl
2-5-1 环量
定义
向量场沿一条闭合路径的环量，定义为该向量沿该闭合路径的标量线积分。
其中：
是沿曲线切线方向的微小线元向量； - 若环量不为零，则在由
围成的曲面上存在某种旋源（或局部旋转趋势）。
- 向量场的旋度（Curl of a Vector Field）
记作
2-5-2 旋度 Curl
环量面密度
过点
它称为向量场在点
特点：
- 其数值与所取方向有关；
- 不同方向上的环量面密度一般不同。
旋度 Curl
向量场的旋度是一个向量，其方向由右手定则确定，其大小等于该点处最大环量面密度：
在笛卡尔坐标系中，若
则
也可写成行列式形式：
因此
IMPORTANT
2-5-3 相关公式
1. 任意标量场的梯度场无旋
2. 任意向量场的旋度场无散
NOTE
这两个公式是向量分析中的恒等式，描述了 gradient、curl、divergence 之间的基本关系。它们的成立通常要求相关函数在所讨论区域内具有足够光滑性，一般取二阶连续可导即可。
1.
这表示：任意标量场的梯度场，其旋度恒为零。
也就是说，若一个向量场本身由某个标量势函数
它的意义在于：
- 梯度场一定无旋；
- 若已知一个场可写成
- 这是“保守场 / 势场”分析中的基本判据之一。
2.
这表示：任意向量场的旋度场，其散度恒为零。
也就是说，若一个向量场是由另一个向量场取旋度得到的，那么这个场没有净源汇，是一个无散场（solenoidal field）。
它的意义在于：
- 旋度场一定无散；
- 若已知一个场可写成
- 这是分析“环流场”“无源汇场”时的重要结构性质。
需要注意：
这两个公式说明的是
- “梯度场
无旋”； - “旋度场
无散”。
但反过来要推出
- “无旋场一定是梯度场”；
- “无散场一定是某个旋度场”；
还需要对定义区域附加额外条件，例如区域连通性、单连通性等，不能仅凭这两个恒等式直接反推。
2-5-4 斯托克斯公式 Stokes's Theorem
TIP
斯托克斯公式说明：曲面边界上的总环量，等于曲面内部所有局部旋转的总和。直观上，可以把整个曲面分成很多小面片，相邻面片公共边上的环流方向相反，会彼此抵消，最后只剩下最外圈边界上的环量。因此，边界上的整体“绕圈效果”，本质上就是曲面内部旋度累积后的结果。
2-6 无旋场与无散场 Irrotational field and solenoidal field
2-6-1 向量场的源 Source
向量场的源可分为两类：
- 散度源（divergence source）
- 旋度源 / 涡旋源（vortex source）
2-6-2 按场源对向量场分类
无旋场 Irrotational field
无旋场是指：向量场只有散度源，没有旋度源，即
其特征为：
这说明：
- 线积分与路径无关；
- 该场是保守场 Conservation Field。
无旋场可表示为某个标量场的梯度（常取负梯度）：
于是有
由斯托克斯公式可知：
例：静电场
无散场 Solenoidal field
无散场是指：向量场只有旋度源，没有散度源，即
其特征为：
即任意封闭曲面的总通量为零。
无散场可以表示为另一个向量场的旋度：
于是有
由散度定理可知：
例：静磁场
既无旋又无散的场
若在某一区域内
同时又满足
则有
即
这说明势函数
NOTE
这种情况通常表示：讨论区域内部没有源，源位于讨论区域之外。
一般向量场：既非无旋，也非无散
一般向量场既不一定无旋，也不一定无散。它可以分解为两部分：
- 无旋部分；
- 无散部分。
即
其中：
为无旋部分；
2-7 拉普拉斯算子 Laplacian operation
标量拉普拉斯算子
标量场
并且
2-7-1 不同坐标系下的表达式
笛卡尔坐标 Cartesian coordinates
柱坐标 Cylindrical coordinates
球坐标（Spherical coordinates）
NOTE
拉普拉斯算子
对标量场
在笛卡尔坐标中就是
它的意义是描述某一点的函数值，相对于周围邻域是“鼓起”“凹下”还是“平衡”。因此它常用来研究：
- 静电场、引力场、稳态温度场中的势函数，得到拉普拉斯方程或泊松方程；
- 扩散、热传导、波动、电磁场等偏微分方程；
- 判断某个区域内是否存在源、汇，或者场是否满足调和条件。
和
本身只是一个微分算子符号，写作
它本身不是一个具体结果，而是一个“操作工具”；
- 当
作用在标量场上，可以形成梯度
- 当
- 当
- 而 拉普拉斯算子
是由 进一步组合得到的二阶算子。对标量场来说，
所以可以理解为：
2-8 亥姆霍兹定理 Helmholtz’s Theorem
2-8-1 无界区域中的表述
在无界区域中，如果一个向量场在整个区域内的散度和旋度都已知，则可以通过它们确定这个向量场的表达式。其分解形式为
其中：
是标量势； 是矢量势。
2-8-2 有界区域中的表述
若向量场定义在一个由曲面包围的有界区域内，则当下列量已知时，该向量场可以被确定：
- 区域内各点的散度；
- 区域内各点的旋度；
- 向量场在边界面上的法向分量。